Hin óendanlega notkun Nash jafnvægis útskýrði: Hvers vegna John Nash var snillingur

Nóbelsverðlaunahafinn John F. Nash Jr lést í bílslysi á sunnudag.

Hugmyndin um Nash jafnvægi er leiðandi, glæsileg og tiltölulega auðvelt að skilja. Það er nógu sérstakt til að skapa marktækar niðurstöður og greiningu, en samt nógu almennt til að hægt sé að útvíkka það og beita til margvíslegra fræðigreina.

John F. Nash Jr lést í bílslysi á sunnudag. Hann var á leið heim frá flugvellinum í Newark, nýkominn heim frá Noregi, þar sem hann hlaut hin virtu Abel-verðlaun í stærðfræði. Vinna Nash um leikjafræði, sem hann hlaut hagfræðinóbelinn fyrir árið 1994 - hann er sá eini sem hefur unnið bæði heiðursverðlaunin - er líklega hans þekktasta. Hugmyndin um Nash jafnvægi er leiðandi, glæsileg og tiltölulega auðvelt að skilja. Það er nógu sérstakt til að skapa marktækar niðurstöður og greiningu, en samt nógu almennt til að hægt sé að útvíkka það og beita til margvíslegra fræðigreina - þróunarlíffræði, hagfræði, varnarfræði og stjórnmál, til dæmis. En stærðfræðisamfélagið lítur á verk hans í rúmfræði og hlutadiffurjöfnum sem sitt mikilvægasta og dýpsta, samkvæmt tilvitnun hans í Abel-verðlaunin.

Það er ótrúlegt að bæði Nóbels- og Abelsverðlaunaverki Nash hafi verið lokið þegar hann var þrítugur. Hann skrifaði aðeins eina 23 blaðsíðna grein árið 1958 um diffurjöfnur að hluta, og eins og Harold W Kuhn benti á á Nóbelsnámskeiðinu árið 1994 , niðurstöðurnar sem hann er heiðraður fyrir þessa vikuna fengust á fyrstu 14 mánuðum hans í framhaldsnámi. Reyndar kom Nash til Princeton sem doktorsnemi með einni línu meðmælabréfi frá R L Duffin frá Carnegie Institute of Technology, þar sem hann var í grunnnámi: Þessi maður er snillingur. A W Tucker, ritgerðarráðgjafi Nash í Princeton, skrifaði árum síðar: Stundum hefur mér þótt þessi tilmæli eyðslusamleg, en því lengur sem ég hef þekkt Nash því meira hallast ég að því að Duffin hafi rétt fyrir sér.

En snemma árs 1959 byrjaði Nash að snúast úr böndunum og byrjaði að sýna einkenni geðklofa. Hann varð ofsóknarbrjálaður og ranghugmyndaður, og fyrir utan nokkur stutt tímabil af skýrleika, lauk rannsóknum hans í um fjóra áratugi. Á þessu sama tímabili var nafn Nash, ósamvinnuleikurinn sem hann gaf form og skilgreiningu og hugmynd hans um jafnvægi að verða hluti af grunnnámi leikjafræði í grunnnámi.

Svo hvað er ósamvinnuleikur? Þetta er ekki leikur þar sem samvinna er útilokuð vegna uppbyggingar launa eins og í núllsummuleik, þar sem ávinningur eins leikmanns felur í sér tap annars. Það getur verið svigrúm fyrir samvinnu í leiknum en það er útilokað vegna þess að það er ekkert fyrirkomulag, eins og lagalega bindandi samningur, til að tryggja skuldbindingu um samráð.

Einfaldur og frægur ósamvinnuleikur er Fangavandamálið (á myndinni hér að ofan). Segjum sem svo að tveir samsærismenn séu handteknir og yfirheyrðir samtímis í aðskildum herbergjum. Hver og einn hefur val um að játa eða vera mamma og er boðinn samningur: ef hún játar (en glæpamaðurinn gerir það ekki) getur hún farið skotlaus á meðan vitorðsmaðurinn mun fara í fangelsi í 10 ár. En ef báðir kjósa að þegja, myndu þeir sitja í fangelsi í eitt ár hvort fyrir smáglæpi. Og ef báðir játa, myndu þeir fara í fangelsi í átta ár hvor.

Einstakt Nash jafnvægi leiksins er þar sem báðir leikmenn játa. Athyglisvert er að báðir væru betur settir ef hvorugur játaði. En þetta er ekki Nash jafnvægi, sem er skilgreint sem stöðugt ástand þar sem enginn leikmaður getur bætt útkomuna fyrir sjálfan sig miðað við það sem aðrir leikmenn eru að gera. Í smá stund gerðu ráð fyrir að báðir leikmenn gefi einhvern veginn til kynna að þeir muni velja að játa ekki. Í slíkum aðstæðum, í ljósi þess að leikmaður B er ekki að játa, væri leikmaður A betur settur með því að afsala sér og velja að játa í staðinn - enginn fangelsisdómur er meira aðlaðandi en ár á bak við lás og slá. Sama gildir um leikmann B. Þannig að báðir myndu víkja frá skuldbindingu sinni um að þegja og játa í staðinn.

Notkun Nash jafnvægis og ósamvinnuleikja eru óendanleg. Sumir á Indlandi hafa til dæmis tekið eftir því að í dag virðist einkafjármagn bíða eftir því að fjárfestingarlotan fari af stað áður en þeir leggja inn eigin peninga. Þetta ástand gæti verið fyrirmynd sem ósamvinnuleikur milli tveggja hugsanlegra fjárfesta, þar sem ávinningur af fjárfestingu er aðeins að veruleika ef báðir sökkva í peningana sína. Í slíkum leik eru tvö Nash jafnvægi: eitt, þar sem báðir leikmenn fjárfesta, og tveir, þar sem hvorugur fjárfestir. Við virðumst vera föst í slæmu jafnvægi. Og þó að Nash hafi getað sannað tilvist að minnsta kosti eins jafnvægis fyrir leik sem ekki er samvinnuþýður, þá er kenningin þögul um hvers vegna tiltekið jafnvægi er til staðar en ekki annað. Þetta er þar sem stjórnvöld, samfélag og viðmið koma inn - til að ýta okkur frá slæmu jafnvægi í gott.

parth.mehrotra@expressindia.com

Deildu Með Vinum Þínum: